评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确，使用了拉格朗日乘数法解决约束优化问题。具体分析如下：

• 正确设定了三段长度变量 \(x, y, z\) 并建立了约束条件 \(x + y + z = 2\)。
• 正确推导了圆、正方形和正三角形的面积公式：
  • 圆的面积 \(S_1 = \frac{x^2}{4\pi}\)（正确）
  • 正方形的面积 \(S_2 = \frac{y^2}{16}\)（正确）
  • 正三角形的面积 \(S_3 = \frac{\sqrt{3}z^2}{36}\)（正确）
• 正确构建了拉格朗日函数并求偏导数。
• 通过联立方程正确解得 \(x, y, z\) 的比例关系，并代入约束求出具体值。
• 最终代入面积公式得到最小值 \(S_{\min} = \frac{1}{\pi + 4 + 3\sqrt{3}}\)，与标准答案一致。

虽然学生使用的变量与标准答案不同（标准答案用图形边长/半径，学生用三段铁丝长度），但思路和最终结果正确，符合“思路正确不扣分”原则。计算过程无误，逻辑严密。

扣分项：无。

得分：10分

题目总分：10分