2014年考研数学（一）考试试题 - 第14题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案为 \( \frac{2}{5n} \)，这与标准答案 \( \frac{2}{5n} \) 完全一致。该答案是通过计算 \( E(X^2) \) 并利用无偏估计的定义 \( E(c\sum_{i=1}^n X_i^2) = \theta^2 \) 得到的。具体计算过程为：

\[ E(X^2) = \int_{\theta}^{2\theta} x^2 \cdot \frac{2x}{3\theta^2} \, dx = \int_{\theta}^{2\theta} \frac{2x^3}{3\theta^2} \, dx = \frac{2}{3\theta^2} \cdot \frac{x^4}{4} \Big|_{\theta}^{2\theta} = \frac{1}{6\theta^2} \left( (2\theta)^4 - \theta^4 \right) = \frac{1}{6\theta^2} (16\theta^4 - \theta^4) = \frac{15\theta^2}{6} = \frac{5\theta^2}{2}. \]

因此，\( E(\sum_{i=1}^n X_i^2) = n \cdot \frac{5\theta^2}{2} \)，由 \( c \cdot n \cdot \frac{5\theta^2}{2} = \theta^2 \) 解得 \( c = \frac{2}{5n} \)。学生答案正确，无逻辑错误，思路与标准答案一致，故得满分4分。

题目总分：4分

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