评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 -1，而标准答案是 0。首先需要分析函数 \( f(x) \) 的表达式：

\[ f(x) = \lim_{t \to x} \left( \frac{\cos t}{\cos x} \right)^{\frac{1}{t - x}} \]

这是一个 \(1^\infty\) 型未定式，可以通过取对数转化为：

\[ \ln f(x) = \lim_{t \to x} \frac{\ln(\cos t) - \ln(\cos x)}{t - x} \]

这正好是函数 \( g(u) = \ln(\cos u) \) 在 \( u = x \) 处的导数定义，即：

\[ \ln f(x) = g'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x \]

因此 \( f(x) = e^{-\tan x} \)。

求导得：

\[ f'(x) = e^{-\tan x} \cdot (-\sec^2 x) = -e^{-\tan x} \sec^2 x \]

代入 \( x = 0 \)：

\[ f'(0) = -e^{0} \cdot 1 = -1 \]

然而，这里需要仔细检查：当 \( x = 0 \) 时，\( f(0) = e^{-\tan 0} = e^0 = 1 \)，并且 \( f'(0) = -1 \)。

但是，标准答案给的是 0，这可能是因为原题在极限计算时出现了不同的理解。实际上，如果直接计算：

\[ f(x) = \lim_{t \to x} \left( \frac{\cos t}{\cos x} \right)^{\frac{1}{t - x}} = \exp\left( \lim_{t \to x} \frac{\ln(\cos t) - \ln(\cos x)}{t - x} \right) = \exp\left( \frac{d}{dx} \ln(\cos x) \right) = \exp(-\tan x) \]

所以 \( f(x) = e^{-\tan x} \)，\( f'(x) = -e^{-\tan x} \sec^2 x \)，\( f'(0) = -1 \)。

学生答案 -1 在数学推导上是正确的，而标准答案 0 ...