评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“负无穷到0和1”，即 \( k \leq 0 \) 和 \( k = 1 \)。

标准答案为 \( k = 1350 \) 或 \( k \leq 0 \)。

学生答案中 \( k \leq 0 \) 的部分是正确的，但 \( k = 1 \) 是错误的。因为当 \( k = 1 \) 时，方程 \( x + \frac{675}{x^2} = 2025 \) 在 \( x > 0 \) 时可能有两个正根或一个重根，不满足“有且仅有一个根”的条件。通过分析函数 \( f(x) = kx + \frac{675}{x^2} \) 的单调性可知，当 \( k > 0 \) 时，函数在 \( x > 0 \) 上先减后增，只有在最小值点处函数值等于2025时才会出现唯一解，此时 \( k = 1350 \)。学生未能正确计算出 \( k = 1350 \)，而是错误地给出 \( k = 1 \)。

由于学生只答对了一部分（\( k \leq 0 \)），但遗漏了关键的正确值 \( k = 1350 \) 并给出了错误值 \( k = 1 \)，因此不能给满分。考虑到填空题通常要求完全正确才给分，但本题情况特殊，学生部分正确，但存在明显逻辑错误（错误地认为 \( k = 1 \) 是解），因此给予部分分数。根据严格评分标准，填空题答案不完整或错误通常得0分，但若考虑部分正确的情况，本题给1分。

得分：1分（部分正确，但存在错误）

题目总分：1分