评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是171，与标准答案完全一致。该题要求计算级数\(\left(\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}\right)^{3}\)中\(x^{20}\)的系数，这等价于求方程\(n_1 + n_2 + n_3 = 20\)（其中\(n_i \geq 1\)）的非负整数解个数。通过变量代换\(m_i = n_i - 1\)，问题转化为求\(m_1 + m_2 + m_3 = 17\)的非负整数解个数，其解数为\(\binom{17+3-1}{3-1} = \binom{19}{2} = 171\)。学生答案正确，计算无误，因此得满分5分。

题目总分：5分