评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确证明了数列的正项性和单调递减性，并应用单调有界准则得出极限存在。但在求极限值时出现逻辑错误：学生写的是 \(a_{n+1} = 2\ln(e^{a_n} - a_n)\)，而标准答案应为 \(a_{n+1} = \ln(e^{a_n} - a_n)\)。这个错误导致后续极限方程变为 \(A = 2\ln(e^A - A)\)，虽然学生最终得到 \(A=0\) 是正确的，但推导过程存在根本性错误。此外，学生额外构造函数 \(y = 2\ln(e^x - x) - x\) 来验证 \(A=0\) 是不必要的。

扣分情况：

• 函数表达式错误（多乘了系数2）属于严重逻辑错误，扣2分
• 极限求解过程存在逻辑错误但结果正确，扣1分
• 额外的不必要推导不扣分

得分：6 - 2 - 1 = 3分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

第一部分求收敛域：学生正确使用了比值判别法，但由于函数表达式错误，导致计算 \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\) 时出现错误。虽然最终得到收敛域为 \((-∞,+∞)\) 是正确的，但推导过程存在根本性错误。

第二部分求和：学生正确利用了 \(e^{a_{n+1}} = e^{a_n} - a_n\) 的关系，得到 \(a_n = e^{a_n} - e^{a_{n+1}}\)，并正确计算了部分和与极限，最终得到和 \(e-1\) 是正确的。

扣分情况：

• 收敛域推导因函数表达式错误导致过程错误，扣2分
• 求和部分完全正确，不扣分

得分：3（收敛域）+ 3（求和）= 6 - 2 = 4分

题目总分：3+4=7分