评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：4分

理由：

• 学生正确定义了 \( F(x) = \int_0^x f(t)dt \)，并利用拉格朗日中值定理得到 \( F(x) = F(0) + F'(\xi_1)x \) 和 \( F(-x) = F(0) - F'(\xi_2)x \)，从而得到 \( \int_0^x f(t)dt + \int_0^{-x} f(t)dt = x[f(\xi_1) - f(\xi_2)] \)。这一步思路正确，得4分。
• 但后续试图通过连续函数的介值性证明存在 \(\theta \in (0,1)\) 使得 \( f(\theta x) - f(-\theta x) = f(\xi_1) - f(\xi_2) \) 是错误的。因为 \(\xi_1\) 和 \(\xi_2\) 是独立的中值点，不能保证存在同一个 \(\theta\) 使得该等式成立。这是一个逻辑错误，扣2分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：5分

理由：

• 学生正确写出极限等式：\(\lim_{x\to 0^+} \frac{\int_0^x f(t)dt + \int_0^{-x} f(t)dt}{x^2} = \lim_{x\to 0^+} \frac{f(\theta x) - f(-\theta x)}{\theta x} \cdot \theta\)，并利用导数的定义得到 \(\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x) - f(-x)}{2x} = f'(0)\)，最终得出 \(\lim_{x\to 0^+} \theta = \frac12\)。整体思路正确，计算无误。
• 但在推导过程中，学生直接使用了（Ⅰ）中未正确证明的等式，而（Ⅰ）的结论在标准答案中是通过正确的拉格朗日中值定理应用于 \(F(x) = \int_0^x f(t)dt + \int_0^{-x} f(t)dt\) 得到的。这里学生依赖了有缺陷的（Ⅰ）结论，但由于（Ⅱ）部分的计算和极限处理正确，仅扣1分。

题目总分：4+5=9分