评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生答案中，条件概率公式使用正确，但计算过程存在逻辑错误：

• 正确思路应为：当 \(X < 1\) 时，\(Y = X^2\)，因此 \(P\{-1 < Y < 2 \mid X < 1\} = \frac{P\{-1 < X^2 < 2, X < 1\}}{P\{X < 1\}}\)。
• 学生错误地将 \(P\{X^2 < 2\}\) 等同于 \(P\{-1 < X^2 < 2, X < 1\}\)，忽略了 \(X < 1\) 的条件，且积分区间设置错误（如 \(\int_{\sqrt{2}}^{1}\) 应为 \(\int_{-\sqrt{2}}^{-1}\) 和 \(\int_{-1}^{1}\) 等）。
• 最终计算结果 \(\frac{1+\sqrt{2}}{3}\) 与标准答案 \(\frac{\sqrt{2}+3}{6}\) 不符，表明计算过程存在根本性错误。
• 扣分：逻辑错误导致结果错误，扣3分；计算过程错误，扣2分；仅公式正确，得1分。本部分得分：1分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生答案中，分布函数分段讨论基本正确，但部分区间计算有误：

• \(y < 0\) 和 \(y \geq 9\) 时正确，不扣分。
• \(0 \leq y < 1\) 时，学生正确写出 \(F_Y(y) = P\{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}\} + P\{1 \leq X \leq \sqrt{y+1}\}\)，但积分密度使用错误（应使用 \(\frac{1}{4}\) 和 \(\frac{1}{8}\)，学生均用 \(\frac{1}{8}\)），导致结果 \(\frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{\sqrt{y+1}}{8} - \frac{1}{8}\) 错误（标准答案为 \(\frac{1}{2}\sqrt{y} + \frac{1}{8}\sqrt{y+1} - \frac{1}{8}\)）。扣1分。
• \(1 \leq y < 8\) 时，学生结果 \(\frac{1}{4} + \frac{1}{8}\sqrt{y+1} + \frac{1}{8}\sqrt{y}\) 与标准答案一致，不扣分。
• \(8 \leq y < 9\) 时，学生计算过程混乱（如出现 \(\int_{-\sqrt{y}}^{1}\frac{1}{8}dx + \int_{1}^{\sqrt{y+1}}\frac{1}{8}dx\) 等错误表达式），但最终结果 \(\frac{5}{8} + \frac{\sqrt{y}}{8}\) 正确，不扣分。
• 扣分：仅 \(0 \leq y < 1\) 区间计算错误，扣1分。本部分得分：5分。

题目总分：1+5=6分