评分及理由

（1）分部积分步骤得分及理由（满分4分）

学生答案中未见对原积分进行分部积分的第一步处理，即未出现 \(\frac{1}{2}\int \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) d\left(\frac{1}{1 - x^2}\right)\) 这一关键步骤，而是直接开始计算 \(\int \frac{1}{(x^2 - 1)\sqrt{1 + x^2}} dx\)。这表明学生可能跳过了原题的主要积分步骤，直接处理了后续的积分部分。因此，分部积分步骤缺失，扣4分。

得分：0分

（2）三角代换及积分计算得分及理由（满分4分）

学生对 \(\int \frac{1}{(x^2 - 1)\sqrt{1 + x^2}} dx\) 进行了三角代换 \(x = \tan t\)，并正确推导到 \(\int \frac{\cos t}{\sin^2 t - \cos^2 t} dt\)，但后续的代数变形（如 \(\int \frac{\cos t}{2\sin^2 t - 1} dt\)）和积分计算（如 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{(\sqrt{2}\sin t)^2 - 1} d(\sqrt{2}\sin t)\)）存在逻辑错误，且最终结果与标准答案不一致（如系数和表达式形式）。此外，学生答案中出现了与题目无关的极值讨论内容，但根据禁止加分原则，不额外扣分。由于三角代换步骤正确但计算错误，扣2分。

得分：2分

（3）最终结果表达得分及理由（满分4分）

学生给出的最终结果为 \(\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{\sqrt{2}x-\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{2}x+\sqrt{x^{2}+1}}\right|+C\)，但第一项分母 \(\sqrt{1 - x^2}\) 错误（应为 \(1 - x^2\)），且整体表达式与标准答案不符。由于结果错误，扣4分。

得分：0分

题目总分：0+2+0=2分