评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生采用了换元法，令$t=\sqrt{e^x-1}$，这是正确的思路。但在分部积分过程中出现了逻辑错误：

• 正确步骤应为：$\int (1+t^2)\arctan t \cdot 2t dt = \int \arctan t d[(1+t^2)^2/2]$
• 但学生写成了$\int \arctan t d[\frac{(1+t^2)^2}{2}]=\frac{1}{2}(1+t^2)^2-\int\frac{1}{2}(1+t^2)dt$
• 这里分部积分公式应用错误，应该是$\int u dv = uv - \int v du$，但学生将$v$误写为$(1+t^2)^2/2$，而$du$应该是$d(\arctan t)=\frac{1}{1+t^2}dt$
• 由于这个关键性的逻辑错误，导致后续计算全部错误

考虑到学生思路正确（换元法），且计算过程基本完整，但在关键的分部积分步骤出现严重逻辑错误，扣5分。

得分：5分

题目总分：5分