评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答在（I）部分整体思路正确，换元、求导、解微分方程等关键步骤均正确执行。但在最后求解微分方程时出现计算错误：

• 正确解应为 \(\varphi(x) = e^{-x} \left( \int 2ax e^x dx + C \right) = e^{-x}(2a(x-1)e^x + C) = 2a(x-1) + Ce^{-x}\)
• 学生得到 \(\varphi(x) = 2a(x-1) + 2ae^{-x}\)，代入初始条件 \(\varphi(0)=0\) 得 \(C=2a\) 是正确的
• 但求导时错误：\(f(x) = \varphi'(x) = 2a - 2a(-e^{-x}) = 2a + 2ae^{-x}\)，而学生写成了 \(2a - 2ae^{-x}\)
• 实际上正确结果应为 \(f(x) = 2a + 2ae^{-x}\)，与标准答案 \(f(x) = 2a(1-e^{-x})\) 不一致

由于这是一个关键的计算错误，导致最终函数表达式错误，扣2分。

得分：3分

（2）得分及理由（满分5分）

学生作答在（II）部分：

• 基于自己（I）部分的结果 \(f(x) = 2a(1-e^{-x})\) 进行计算
• 积分计算正确：\(\int_0^1 2a(1-e^{-x})dx = 2a\left(1 + \frac{1}{e} - 1\right) = \frac{2a}{e}\)
• 解方程 \(\frac{2a}{e} = 1\) 得 \(a = \frac{e}{2}\) 正确

虽然（I）部分函数表达式错误，但（II）部分基于自己的结果进行了正确的后续计算，思路和计算都正确，不扣分。

得分：5分

题目总分：3+5=8分