评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( 2x - 2y - z = 2 \)，而标准答案是 \( 2x + 2y - z = 2 \)。

曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 的法向量为 \( ( -2x, -2y, 1 ) \)（或等价地 \( (2x, 2y, -1) \)），切平面法向量为 \( (2x, 2y, -1) \)。

直线 \( \begin{cases} x + 2z = 1 \\ y + 2z = 2 \end{cases} \) 的方向向量可由两平面法向量叉积得到：

平面 \( x + 2z = 1 \) 的法向量为 \( (1, 0, 2) \)，平面 \( y + 2z = 2 \) 的法向量为 \( (0, 1, 2) \)，叉积得方向向量 \( (-2, -2, 1) \) 或 \( (2, 2, -1) \)。

切平面与直线垂直，则切平面的法向量与直线的方向向量平行，即 \( (2x, 2y, -1) \) 与 \( (2, 2, -1) \) 平行，所以 \( x = 1, y = 1 \)，代入曲面得 \( z = 2 \)。

切平面方程为 \( 2(x - 1) + 2(y - 1) - (z - 2) = 0 \)，即 \( 2x + 2y - z = 2 \)。

学生答案中 \( y \) 的系数为 \( -2 \)，与正确系数 \( +2 \) 不符，属于计算或推导错误，因此不得分。

本题为填空题，按规则正确则给5分，错误则给0分，因此本题得0分。

题目总分：0分