评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：4分

理由：

• 学生正确使用了泰勒展开的思路，将xf(x)在x=0处展开，这与标准答案一致。
• 展开式写为：xf(x) = xf'(0) + (x²/2)(ξf''(ξ)+2f'(ξ))，这里存在逻辑错误。泰勒展开的余项应该用某个点c（介于0与x之间）的函数值表示，但学生直接写成了ξ，且ξ与积分变量x的关系不明确。
• 在积分过程中，学生直接将ξ视为常数从积分号中提出，这是严重的逻辑错误。实际上ξ依赖于x，不能直接提出。
• 虽然最终得到了目标等式，但推导过程存在根本性的逻辑错误，因此扣2分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：2分

理由：

• 学生正确设置了G(x)=xf(x)，这与标准答案思路一致。
• 写出了G(x)在x=0处的泰勒展开式，但展开点选择不当。题目条件是在(-1,1)内取得极值，应在极值点x₀处展开，而不是在x=0处展开。
• 从①-②得到f(1)-f(-1) = 1/2[G''(c₁)+G''(c₂)]，这一步推导有误，实际上应该是①+②。
• 最后直接得出|f(1)-f(-1)| = |2f'(η)+ηf''(η)|，缺少必要的绝对值不等式推导过程，结论不完整。
• 由于存在多处逻辑错误且结论不完整，扣4分。

题目总分：4+2=6分