评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生第一部分解答：

• 学生正确得出 \(k=3\) 和 \(A^2 + A = 2E\)，这是关键结果。
• 但推导过程存在逻辑错误：学生提到“\(A\alpha = (1-k)\alpha\) 且 \(\lambda=-2\) 是 \(A\) 关于 \(\alpha\) 的特征值”，这里混淆了 \(\alpha\) 作为特征向量的情况。实际上，\(\alpha\) 是 \(A\) 的特征向量对应特征值 \(1-k\)，但题目只给出 \(\lambda=-2\) 是特征值，并未说明 \(\alpha\) 是对应特征向量。学生错误地假设 \(\alpha\) 对应特征值 \(-2\)，从而直接得出 \(1-k=-2\)，这是不严谨的。
• 标准答案通过特征多项式推导，更严谨。学生的方法虽然结果正确，但逻辑有缺陷。
• 扣分：逻辑错误扣1分。
• 得分：6 - 1 = 5分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生第二部分解答：

• 学生正确计算了 \(A\) 矩阵和特征值 \(\lambda_1=-2, \lambda_2=\lambda_3=1\)。
• 特征向量选择：学生给出 \(\alpha_1=(1,1,1)^T\)（对应 \(-2\)），\(\alpha_2=(-1,1,0)^T\) 和 \(\alpha_3=(-1,0,1)^T\)（对应 \(1\)），这与标准答案一致（符号差异不影响，是误写或等价形式）。
• 施密特正交化：学生进行了正交化，但计算有误。\(\beta_3\) 的计算结果 \(\begin{pmatrix} -1/2 & -1/2 & 1 \end{pmatrix}^T\) 不正确，标准正交化后应为 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}^T\) 或等价形式。学生单位化后的矩阵 \(Q\) 也有误，导致最终标准形错误。
• 标准形：学生给出 \(f = -2y_1^2 + y_2^2 + y_3^2\)，但正确应为 \(y_1^2 + y_2^2 - 2y_3^2\)（顺序可调，但系数对应特征值）。学生错误可能源于正交化失误。
• 扣分：正交化计算错误扣2分，标准形错误扣1分。
• 得分：6 - 2 - 1 = 3分。

题目总分：...