评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的联合分布函数表达式存在多处错误：

• 定义域条件错误：标准答案中需要区分 \(0 < x < y\) 和 \(0 < y \leq x\) 两种情况，而学生只给出了 \(x>y>0\) 和 \(y>x>0\) 两种情况，且条件描述不准确。
• 函数表达式错误：在 \(x>y>0\) 时，学生的答案 \(e^{-y}-2e^{-(x+y)}+1\) 与标准答案 \(1-2e^{-y}-e^{-2x}+2e^{-(x+y)}\) 不符；在 \(y>x>0\) 时，学生的答案 \(2e^{-(x+y)}\) 与标准答案 \(1-2e^{-y}+e^{-2y}\) 完全不符。
• 缺少 \(x \leq 0\) 或 \(y \leq 0\) 时 \(F(x,y)=0\) 的情况。

由于联合分布函数的定义域划分和函数表达式均存在根本性错误，扣4分。

得分：0分

（2）得分及理由（满分4分）

学生的解题思路正确，知道使用条件概率公式，但在计算分子时出现严重错误：

• 分子积分区域应为 \(x+y>1\) 且 \(x<\frac{1}{2}\)，但学生的积分区域是 \(x<\frac{1}{2}\) 且 \(y>x\)，这没有体现 \(x+y>1\) 的条件。
• 计算结果显示 \(\frac{e+1}{e-1}\)，与标准答案 \(\frac{1}{e-1}\) 不符。
• 特别严重的是，学生将分子和分母写成了相同的表达式，这显然是错误的。

虽然思路正确，但积分区域理解和计算都存在根本错误，扣4分。

得分：0分

（3）得分及理由（满分4分）

学生的解题方法正确：

• 正确写出了边缘概率密度函数 \(f_X(x)\) 和 \(f_Y(y)\)
• 正确计算了 \(E(X) = \frac{1}{2}\) 和 \(E(Y) = \frac{3}{2}\)
• 最终得到 \(E(Y-X) = 1\)，与标准答案一致

虽然学生使用了先求边缘分布再求期望的方法，与标准答案直接求 \(Z=Y-X\) 的分布不同，但方法是正确的且结果正确。

得分：4分

题目总分：0+0+4=4分