评分及理由

（1）微分方程求解部分得分及理由（满分6分）

学生正确将原方程化为标准形式，并应用一阶线性微分方程通解公式求解。在计算积分时，虽然步骤与标准答案略有不同，但最终得到相同形式的通解 \(y = Cx^2 - \frac{\ln x}{2}\)，并正确利用初始条件确定常数 \(C = \frac{1}{4}\)，得到正确解 \(y = \frac{x^2}{4} - \frac{\ln x}{2}\)。此部分思路正确，计算无误，得6分。

（2）弧长计算部分得分及理由（满分6分）

学生正确写出弧长公式并代入导数 \(y' = \frac{x}{2} - \frac{1}{2x}\)。在计算 \(1 + (y')^2\) 时，展开得到： \[ 1 + \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2x}\right)^2 = 1 + \frac{x^2}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2} = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2} \] 但学生错误写为 \(\frac{1}{4x^2} + \frac{x^2}{4} + \frac{1}{2}\)（顺序不同不影响），并正确识别为 \(\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}\right)^2\)。然而，在最后定积分计算中，学生得到： \[ \left[\frac{1}{2}\ln x + \frac{x^2}{4}\right]_{1}^{e} = \frac{1}{2} + \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \] 但最终答案误写为 \(\frac{e^2}{4}\)，缺少了常数项 \(\frac{1}{4}\)。此计算错误导致最终结果不正确，扣除2分，得4分。

题目总分：6+4=10分