评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

第(I)问主要考查正交变换下二次型标准形的求解。学生正确写出了矩阵A，计算了特征多项式并得到特征值λ=2,4,4。在特征向量求解中，λ=2对应的特征向量正确，λ=4时求出了两个线性无关的特征向量(0,1,0)ᵀ和(-1,0,-1)ᵀ。但第二个特征向量(-1,0,-1)ᵀ与第一个特征向量不正交，需要施密特正交化。学生直接单位化后构造正交矩阵，这是错误的。此外，构造的对角矩阵中特征值排列与标准答案不同但不影响结果。考虑到学生基本思路正确，主要错误在于未对重特征值的特征向量进行正交化处理，扣2分，得4分。

（2）得分及理由（满分6分）

第(II)问考查Rayleigh商的最小值。学生正确使用了正交变换，将f(x)/xᵀx转化为(2y₁²+4y₂²+4y₃²)/(y₁²+y₂²+y₃²)。虽然使用了夹逼定理的方法与标准答案不同，但思路正确。通过取y₂=y₃=0时达到最小值2，并给出了对应的x取值条件，论证完整。此问解答正确，得6分。

题目总分：4+6=10分