评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 $\mathrm{d}x + \mathrm{d}y$，而标准答案是 $\mathrm{d}x - \mathrm{d}y$。根据题目条件，函数 $f(x,y)$ 可微，且曲面与 $xOy$ 坐标面的交线为 $y = \int_0^x (e^{-t^2} + \sin t^2) dt$ 和 $z=0$。这意味着在交线上 $z = f(x,y) = 0$，因此 $f(x, \int_0^x (e^{-t^2} + \sin t^2) dt) = 0$。对 $x$ 求导并利用 $f_x'(0,0)=1$，可求得 $f_y'(0,0) = -1$，从而全微分 $\mathrm{d}z|_{(0,0)} = f_x'(0,0) \mathrm{d}x + f_y'(0,0) \mathrm{d}y = \mathrm{d}x - \mathrm{d}y$。学生答案的符号错误，属于逻辑错误，因此不得分。

题目总分：0分