2026年李林冲刺预测6套卷（一） - 第15题回答

首先，题目是求曲线 \( x = \cos^3 t, \; y = \sin^3 t \) 所围平面图形绕直线 \( y = 1 \) 旋转所得旋转体的体积。 标准答案是 \(\frac{3}{4} \pi^2\)，这是一个数值结果。 学生给出的答案是： \[ \frac{32 \times 2^{1/2}}{5} \pi \] 即 \[ \frac{32\sqrt{2}}{5} \pi \] --- **1. 判断思路与答案数值是否一致** 标准答案： \[ \frac{3}{4} \pi^2 \approx 2.35619 \times \pi \approx 7.4022 \] 学生答案： \[ \frac{32\sqrt{2}}{5} \pi \approx \frac{32 \times 1.4142}{5} \pi \approx \frac{45.2544}{5} \pi \approx 9.05088 \times 3.1416 \approx 28.434 \] 数值上差距很大，显然不相等。 --- **2. 分析可能的错误原因** 该曲线是星形线（内摆线）\( x^{2/3} + y^{2/3} = 1 \)，绕 \( y=1 \) 旋转时，可以用圆盘法（对 \( y \) 积分）或壳层法（对 \( x \) 积分），但需要小心处理对称性。 常见正确解法： 利用对称性，只计算第一象限部分再乘 4。 绕 \( y=1 \) 旋转时，半径是 \( 1 - y(t) \)，体积公式： \[ V = \pi \int (R_{\text{outer}}^2 - R_{\text{inner}}^2) \, dx \] 但这里曲线是封闭的，绕外部轴旋转时，要用 Pappus 定理（形心路径长 × 面积）更方便： \[ V = 2\pi \times (\text{形心到轴的距离}) \times (\text{面积}) \] 星形线面积 \( A = \frac{3}{8}\pi \)（整个是 \( \frac{3\pi}{8} \times 4 = \frac{3\pi}{2} \)？ 等等，检查： 星形线面积公式：\( A = \frac{3}{8}\pi a^2 \) 当 \...

赞同