评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答中，首先对原方程两边求导得到微分方程，这一步正确（得2分）。然后求解一阶线性微分方程，得到通解形式 \( f(x) = C e^{\frac{x^2}{2} - \ln x} = \frac{C}{x} e^{\frac{x^2}{2}} \)，这一步也正确（得3分）。但在确定常数 \( C \) 时，学生错误地使用了 \( f'(1) = 0 \) 的条件，而标准方法应利用原方程代入特定值（如 \( x=1 \)）来解出 \( C \)。学生后续还错误地尝试使用 \( x=2 \) 的条件，导致计算混乱，未能正确解出 \( C = 1 \)（扣3分）。最后，学生正确求导并分析单调性，得出 \( x=1 \) 为极小值点，并给出最小值表达式 \( f(1) = C e^{\frac{1}{2}} \)，但由于 \( C \) 未正确求出，最小值数值错误（扣1分）。此外，学生作答中存在多处推导错误和冗余计算，但核心步骤部分正确。综上，扣除逻辑错误分后，得分为 \( 2 + 3 - 3 - 1 = 1 \) 分。

题目总分：1分