评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确求解了微分方程，得到 \(y = (1+x)^{1+\frac{1}{x}}\)，并验证了初始条件 \(f(1)=4\)。但在证明凸函数时出现严重错误：

1. 计算二阶导数时错误地将 \(\ln(1+x)\) 写为 \(\ln x\)（第2次识别结果中多次出现 \(\ln x\)）
2. 最终得到 \(f''(x) = e^{(\frac{1}{x}+1)\ln(1+x)}\frac{(2x-\ln x)^2}{x^4} \geq 0\) 的错误结论
3. 这导致得出 \(f(x)\) 是凹函数的错误判断，与题目要求证明凸函数相矛盾

由于核心证明逻辑完全错误，但微分方程求解部分正确，给2分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生完全没有解答第（Ⅱ）问，没有利用凸函数性质进行证明，也没有求出 \(a\) 的最小值。

因此得0分。

题目总分：2+0=2分