评分及理由

（1）求解微分方程部分得分及理由（满分3分）

学生将原方程变形为 \(y' = \frac{x^2 - 1}{y^2 + 1}\) 是正确的，但后续积分过程出现错误。标准答案为 \(\frac{1}{3}y^3 + y = x - \frac{1}{3}x^3 + C\)，而学生得到 \(\arctan y = \frac{1}{3}x^3 - x + C\)，这是对微分方程积分时的错误。因此扣2分，得1分。

（2）确定常数C部分得分及理由（满分2分）

学生正确代入初始条件 \(y(2)=0\) 进行计算，但基于错误的通解形式，得到的 \(C = -\frac{2}{3}\) 也是错误的。由于过程正确但结果因前一步错误而错误，扣1分，得1分。

（3）求极值部分得分及理由（满分5分）

学生正确找到驻点 \(x = \pm 1\)，但极值计算基于错误的函数表达式。标准答案中极大值为1、极小值为0，而学生得到的是 \(-\tan\frac{4}{3}\) 和0。由于极值点判断正确但具体数值错误，扣3分，得2分。

题目总分：1+1+2=4分