评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路与标准答案不同，但最终结果正确。学生直接使用极坐标变换进行计算，没有利用对称性简化被积函数。在极坐标变换后，学生将积分写为： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{1}^{2} \frac{r \cos \theta \sin(\pi r)}{r(\cos \theta + \sin \theta)} \cdot r \, dr = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta} d\theta \int_{1}^{2} r \sin(\pi r) \, dr \] 然后对 \( r \) 部分使用分部积分，计算正确得到 \( \int_{1}^{2} r \sin(\pi r) \, dr = \frac{3}{\pi} \)。接着计算角度部分积分 \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta} d\theta = \frac{\pi}{4} \)，方法正确。最终结果 \( I = -\frac{3}{4} \) 正确。

虽然学生没有使用对称性简化，但思路正确且计算无误，因此不扣分。但需注意，学生在分部积分步骤中书写有误（如 \( u = \frac{r \cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \) 但后续处理中忽略了 \( r \) 的变量性，实际计算时已正确处理），但最终计算正确，视为笔误不扣分。

得分：10分

题目总分：10分