评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确根据偏导数条件得到 \(f(x,y) = (y+1)^2 + \varphi(x)\) 的形式，并通过已知条件 \(f(y,y)\) 求出 \(\varphi(x) = (x-2)\ln x\)，得到 \(f(x,y) = (y+1)^2 + (x-2)\ln x\)。虽然表达式中写的是 \(C_1x + C_2\) 但最终结果正确，不扣分。得5分。

（2）得分及理由（满分3分）

学生正确令 \(f(x,y)=0\) 得到 \((y+1)^2 = (2-x)\ln x\)，并解出 \(y = -1 \pm \sqrt{(2-x)\ln x}\)。注意到当 \(y=-1\) 时对应 \(x=1,2\)，确定了积分区间。得3分。

（3）得分及理由（满分3分）

学生错误地使用了 \(2\pi\int_1^2 y^2 dx\) 来计算旋转体体积。正确应该是绕 \(y=-1\) 旋转，体积应为 \(\pi\int_1^2 (y+1)^2 dx\)。虽然学生将 \((y+1)^2\) 替换为 \((2-x)\ln x\) 是正确的，但前面的系数错误（应该是 \(\pi\) 而不是 \(2\pi\)），且积分对象应该是 \((y+1)^2\) 而不是 \(y^2\)。这是一个严重的逻辑错误，扣2分。计算过程中积分结果也错误，但这是由基本公式错误导致的。得1分。

题目总分：5+3+1=9分