评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答的整体思路是正确的，通过计算两个矩阵的特征值，并证明它们都可对角化，从而利用相似关系的传递性得出结论。具体分析如下：

• 学生正确计算了矩阵A的特征多项式，得到特征值为n（单根）和0（n-1重根），并指出A是实对称矩阵，因此可对角化。
• 学生提到矩阵B的特征值也为n和0（n-1重根），并指出B是上三角矩阵，且通过特征值分析认为B可对角化（尽管未详细计算B的特征多项式或几何重数，但结论正确）。
• 学生利用相似关系的传递性（A～C，C～B，故A～B）是正确的逻辑。

然而，存在以下逻辑错误和不足：

• 在证明B可对角化时，学生仅简单提到“B是上三角矩阵，其特征值互不相同的个数加上重特征值对应的线性无关特征向量个数等于矩阵阶数”，但未具体计算特征值0的几何重数（即未验证rank(0E-B)=1，从而几何重数为n-1）。这是关键步骤的缺失，属于逻辑不完整。
• 学生开头提到“tr(A)=tr(B)”，但迹相同不是相似性的充分条件，此部分多余且可能误导，但未影响后续正确推理，故不额外扣分。
• 对矩阵A的初等变换部分（如增广矩阵变换）与证明无关，但未导致错误，故不扣分。

根据打分要求，逻辑错误扣分：B可对角化的证明不完整，扣1分。其他部分正确，不扣分。因此本部分得分：10分（满分11分）。

题目总分：10分