评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

该题考查质心坐标的计算。质心坐标公式为 \(\bar{x} = \frac{\int x \rho(x) dx}{\int \rho(x) dx}\)，积分区间为细棒所在的 \([0,1]\)。

学生给出的答案是 \(\frac{5}{3}\)，而标准答案是 \(\frac{11}{20}\)。计算过程应为：

• 质量 \(M = \int_0^1 (-x^2 + 2x + 1) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right]_0^1 = -\frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{5}{3}\)
• 一阶矩 \(M_x = \int_0^1 x(-x^2 + 2x + 1) dx = \int_0^1 (-x^3 + 2x^2 + x) dx = \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{11}{12}\)
• 质心 \(\bar{x} = \frac{M_x}{M} = \frac{11/12}{5/3} = \frac{11}{12} \times \frac{3}{5} = \frac{11}{20}\)

学生答案 \(\frac{5}{3}\) 恰好等于质量 \(M\) 的值，说明学生可能错误地将质量当作了质心坐标，存在概念混淆的逻辑错误。根据质心定义，必须用一阶矩除以质量，而学生没有完成这个关键步骤。

因此，本题得分为0分。

题目总分：0分