评分及理由

（1）分离变量与通解求解（满分3分）

学生正确地将原方程改写为 \((1+y^2)dy = (1-x^2)dx\)，并积分得到通解 \(y+\frac{1}{3}y^3 = x-\frac{1}{3}x^3 + C_1\)，与标准答案一致。此处得3分。

（2）利用初值条件确定常数（满分2分）

学生正确代入 \(y(2)=0\)，计算出 \(C_1 = \frac{2}{3}\)，与标准答案一致。此处得2分。

（3）求导与驻点分析（满分3分）

学生正确写出 \(y' = \frac{1-x^2}{1+y^2}\)，并令 \(y'=0\) 得到驻点 \(x=\pm 1\)，对应的点为 \((1,1)\) 和 \((-1,0)\)。此处分析正确，得3分。

（4）极值判定与结果（满分2分）

学生通过二阶导数符号判定 \((1,1)\) 为极大值点，值为1；\((-1,0)\) 为极小值点，值为0，与标准答案一致。虽然学生使用了二阶导数判定法（标准答案使用一阶导数符号法），但方法正确且结果一致，根据评分要求“思路正确不扣分”，此处不扣分。得2分。

题目总分：3+2+3+2=10分