评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

该学生作答整体思路与标准答案一致，步骤完整且计算正确。具体分析如下：

• 一阶偏导数和二阶偏导数的计算正确，与标准答案一致。
• 代入偏微分方程并化简得到关于 \( f(u) \) 的常微分方程 \( f''(u) - 4f(u) = u \) 的过程正确。
• 求解非齐次线性微分方程的方法正确：先求齐次通解 \( C_1 e^{2u} + C_2 e^{-2u} \)，再设特解为 \( Au \)（学生写作 \( Au + C \)，但计算中正确得出 \( C = 0 \)），解得特解为 \( -\frac{1}{4}u \)，通解为 \( f(u) = C_1 e^{2u} + C_2 e^{-2u} - \frac{1}{4}u \)。
• 利用初始条件 \( f(0) = 0 \) 和 \( f'(0) = 0 \) 建立方程组并求解，得到 \( C_1 = \frac{1}{16} \), \( C_2 = -\frac{1}{16} \)，最终结果为 \( f(u) = \frac{1}{16} e^{2u} - \frac{1}{16} e^{-2u} - \frac{1}{4}u \)，与标准答案一致（标准答案为 \( \frac{1}{16}(e^{2u} - e^{-2u}) - \frac{1}{4}u \)，等价）。

因此，该作答无逻辑错误，计算准确，应得满分10分。

题目总分：10分