评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生证明(I)时，采用了构造辅助函数的方法：令 \(F(x)=\int_a^x g(t)dt\) 和 \(G(x)=\int_a^x g(t)dt - (x-a)\)，通过导数符号判断单调性，得出 \(0 \leq \int_a^x g(t)dt \leq x-a\)。此方法与标准答案（积分中值定理）不同，但思路正确且逻辑严密，结论正确。因此不扣分，得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生证明(II)时，构造了辅助函数 \(H(u)=\int_{a}^{a+\int_a^u g(t)dt} f(x)dx - \int_a^u f(x)g(x)dx\)，求导后得到 \(H'(u)=g(u)[f(a+\int_a^u g(t)dt)-f(u)]\)。利用(I)的结论 \(a+\int_a^u g(t)dt \leq u\) 和 \(f(x)\) 单调递增，得出 \(H'(u) \leq 0\)，从而 \(H(u)\) 单调递减，故 \(H(b) \leq H(a)=0\)，即得所证不等式。此思路与标准答案（构造 \(F(u)\) 形式不同但本质等价）一致，逻辑正确，结论成立。因此不扣分，得5分。

题目总分：5+5=10分