评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：10

标准答案：10

分析：本题需要利用矩阵秩的条件和行列式性质进行计算。已知条件包括： 1. \( r(AA^T) = 3 \)，说明\(A\)是4阶矩阵且秩为3，因此\(|A| = 0\) 2. 由\(|AB| = |A||B|\)和\(|A| = 0\)可得\(|AB| = 0\) 3. 已知\(|AB|\)的具体行列式表达式，且其中一个3阶子式为5 4. 需要计算另一个3阶行列式

学生直接给出了答案10，与标准答案一致。虽然学生没有展示解题过程，但考虑到： - 这是一个填空题 - 答案完全正确 - 题目要求"正确则给5分，错误则给0分" - 没有证据表明学生使用了错误的方法

根据题目评分规则，答案正确应给满分。

得分：5分

题目总分：5分