评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生得分：4分

理由：

• 学生正确使用了反证法思路，假设存在某点导数大于0，推导出与函数有界性矛盾，从而得出f'(x)≤0，这是正确的核心逻辑（+4分）
• 但学生在证明lim f(x)存在时，错误地使用了lim f'(x)=0的结论（-2分）。实际上，从f'(x)≤0和f(x)有界只能推出f(x)单调递减有下界，从而极限存在，不需要也不能推出f'(x)→0
• 学生写"f''(x)>0"应为"f''(x)≤0"（凹函数定义），但根据误写规则不扣分

（2）得分及理由（满分6分）

学生得分：6分

理由：

• 学生正确使用了分部积分法，得到∫xf'(x)dx = xf(x)|₀^∞ - ∫f(x)dx（+2分）
• 学生正确选取了两个反例函数进行分析（+2分）
• 对f(x)=1/(x+1)的情况，正确计算得出积分发散（+1分）
• 对f(x)=1/(x+1)²的情况，正确计算得出积分收敛（+1分）
• 最终得出敛散性不确定的正确结论

题目总分：4+6=10分