评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生的解答过程与标准答案基本一致，思路正确，步骤完整。具体分析如下：

• 第一步对原式进行变形：将分母中的根式化为 \(x(x-1)\sqrt{\frac{3x+1}{x-1}}\)，这一步与标准答案相同，正确。
• 第二步进行换元：令 \(t = \sqrt{\frac{3x+1}{x-1}}\)，推导出 \(x = \frac{t^2+1}{t^2-3}\)，并正确计算了微分 \(dx = -\frac{8t}{(t^2-3)^2}dt\)。积分上下限的变换也正确：当 \(x=1\) 时 \(t \to +\infty\)，当 \(x=2\) 时 \(t=\sqrt{7}\)。
• 第三步代入换元并化简：学生详细写出了代入过程，并正确化简了表达式，最终得到 \(\int_{\sqrt{7}}^{+\infty} \frac{2}{t^2+1} dt\)，与标准答案一致。
• 第四步计算积分：正确应用积分公式 \(\int \frac{2}{t^2+1} dt = 2\arctan t + C\)，并正确计算定积分值 \(2\left(\frac{\pi}{2} - \arctan\sqrt{7}\right) = \pi - 2\arctan\sqrt{7}\)。

整个解答逻辑清晰，计算准确，无逻辑错误。根据打分要求，思路正确且无错误，应给予满分。

得分：12分

题目总分：12分