评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案中，首先正确指出f(x)有界且为凹函数，但错误地写为f''(x)>0（应为f''(x)≤0或非正，凹函数对应二阶导数非正）。不过后续使用反证法的思路正确：假设存在x₀使f'(x₀)>0，利用凹函数性质（实际上应利用f'(x)单调不增，但学生错误地用了f''(x)>0）推导出矛盾。具体推导中，学生错误地应用了拉格朗日中值定理（应为f(x)=f(x₀)+f'(ξ)(x-x₀)且f'(ξ)≥f'(x₀)>0，但学生未明确说明f'(ξ)的下界），但最终得出f(x)→+∞与有界矛盾，从而证明f'(x)≤0，这一步逻辑基本正确。之后学生错误地声称lim_{x→+∞}f'(x)=0（这不一定成立，例如f(x)=1/(x+1)时f'(x)→0，但f(x)=1时f'(x)恒为0，结论不普遍），但正确指出f(x)单调递减且有界，故极限存在。主要错误：①对凹函数的二阶导数判断错误；②对f'(x)极限的断言错误。鉴于核心反证思路正确且最终结论正确，但存在两处明显错误，扣3分，得3分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确进行分部积分：∫x f'(x)dx = x f(x)|₀^∞ - ∫f(x)dx。在具体例子中：①对于f(x)=1/(x+1)，正确计算极限和积分，得出发散结论；②对于f(x)=1/(x+1)²，正确计算极限和积分，得出收敛结论；最终正确指出敛散性不确定。计算过程准确，结论正确。但在分部积分后的表达式未明确写出极限形式（直接写xf(x)|₀^∞），但上下文理解正确。此处不扣分。得6分。

题目总分：3+6=9分