评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是"-1"，与标准答案一致。题目中给出的条件是 \(a_{ij} + A_{ij} = 0\)，即 \(A_{ij} = -a_{ij}\)。根据代数余子式与伴随矩阵的关系，这等价于 \(A^* = -A^T\)，其中 \(A^*\) 是伴随矩阵。又因为 \(A^* = |A|A^{-1}\)（当 \(A\) 可逆时），代入可得 \(|A|A^{-1} = -A^T\)。两边取行列式，得到 \(|A|^3/|A| = |-A^T|\)，即 \(|A|^2 = (-1)^3|A|\)，整理得 \(|A|^2 + |A| = 0\)，解得 \(|A| = 0\) 或 \(|A| = -1\)。但若 \(|A| = 0\)，则 \(A^* = 0\)，与 \(A\) 非零矛盾，故 \(|A| = -1\)。学生答案正确，得4分。

题目总分：4分