评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路与标准答案一致，使用了分部积分法和变量代换法，最终得到了正确结果。具体分析如下：

• 第一步分部积分：\( \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = 2\int_{0}^{1} f(x) d\sqrt{x} = 2[\sqrt{x}f(x)]_{0}^{1} - 2\int_{0}^{1} \sqrt{x}f'(x)dx \) 正确
• 代入边界值：\( f(1) = 0 \)，所以 \( 2[\sqrt{x}f(x)]_{0}^{1} = 0 \) 正确
• 计算 \( f'(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \) 正确
• 得到 \( -2\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}} dx = -4\int_{0}^{1} \ln(1+x) d\sqrt{x} \) 正确
• 再次分部积分：\( -4[\sqrt{x}\ln(1+x)]_{0}^{1} + 4\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx \) 正确
• 计算定积分 \( [\sqrt{x}\ln(1+x)]_{0}^{1} = \ln2 \) 正确
• 变量代换 \( t = \sqrt{x} \) 计算 \( \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx = 2\int_{0}^{1} \frac{t^2}{1+t^2} dt \) 正确
• 计算 \( 2\int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{1+t^2}) dt = 2(1 - \frac{\pi}{4}) = 2 - \frac{\pi}{2} \) 正确
• 最终结果 \( -4\ln2 + 4(2 - \frac{\pi}{2}) = -4\ln2 + 8 - 2\pi \) 正确

虽然学生作答中有一些书写不规范的地方（如积分限在变量代换后未明确写出），但核心逻辑完全正确，计算过程完整，最终答案与标准答案一致。根据评分要求，思路正确不扣分，识别误差不扣分，因此给予满分。

题目总分：10分