评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了幂级数的二阶导数 \(S''(x)\)，并代入递推关系 \(a_{n-2} - n(n-1)a_n = 0\)（即 \(n(n-1)a_n - a_{n-2} = 0\)），得到 \(S''(x) - S(x) = 0\)。但在推导过程中，学生将 \(S(x)\) 写为 \(\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2}x^{n-2} + a_0 + a_1x\)，这实际上是将 \(S(x)\) 的幂级数形式进行了重新索引，但未明确说明这一步骤与 \(S''(x)\) 的索引对齐，导致表达式略显混乱。不过，核心逻辑正确，且最终结论正确。因此，扣1分。

得分：4分

（II）得分及理由（满分5分）

学生正确求解了微分方程 \(S''(x) - S(x) = 0\)，得到通解 \(S(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\)，并利用初始条件 \(S(0) = 3\) 和 \(S'(0) = 1\) 确定常数 \(C_1 = 2\) 和 \(C_2 = 1\)，最终得到 \(S(x) = 2e^x + e^{-x}\)。计算过程正确，结果与标准答案一致（标准答案为 \(e^{-x} + 2e^x\)，顺序不影响结果）。因此，不扣分。

得分：5分

题目总分：4+5=9分