评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案为 \(xye^y\)，与标准答案 \(xye^{y}\) 完全一致。该答案满足题目给出的微分形式 \(d f(x, y)=y e^{y} d x+x(1+y) e^{y} d y\) 和初始条件 \(f(0,0)=0\)。具体验证过程如下：

• 计算偏导数：\(\frac{\partial}{\partial x}(xye^y) = ye^y\)，\(\frac{\partial}{\partial y}(xye^y) = xe^y + xye^y = x(1+y)e^y\)
• 验证全微分：\(df = ye^ydx + x(1+y)e^ydy\) 与题目一致
• 验证初始条件：\(f(0,0) = 0\) 满足

因此该答案完全正确，得4分。

题目总分：4分