评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答中存在以下问题：

• 极坐标变换错误：学生写成 \(x = r\sin\theta, y = r\cos\theta\)（应为 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)），但后续计算中实际使用了正确的对应关系（如 \(x^2 = r^2\sin^2\theta\) 对应 \(x = r\sin\theta\) 的设定），属于符号定义不一致但实质正确，不扣分。
• 区域描述错误：学生写 \(0 \leq r^2 \leq 2\cos\theta\)，正确应为 \(r \leq 2\sin\theta\)。这导致积分上下限错误（应为 \(r\) 从 0 到 \(2\sin\theta\)，学生写成 \(2\cos\theta\)），且 \(\theta\) 范围错误（应为 \([0, \pi]\)，学生用 \([0, \frac{\pi}{2}]\) 但乘以 2）。这是关键逻辑错误，扣 2 分。
• 对称性使用：学生正确利用对称性简化积分，不扣分。
• 计算过程：尽管区域描述错误，但最终计算结果正确 \(\frac{5\pi}{4}\)，表明计算技巧掌握，但基于区域错误，扣分已体现。

得分：11 - 2 = 9分

题目总分：9分