评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答整体思路正确，从切线、法线方程出发，根据条件建立微分方程，通过换元法求解，并利用初始条件确定常数。但在关键步骤中存在逻辑错误：

• 在建立微分方程时，学生写出的法线截距公式为 \(X_p = y y' + x\)，但标准答案为 \(X_p = x + y y'\)，两者一致，此处正确。
• 在代入换元 \(y = ux\) 和 \(y' = u + x u'\) 后，学生得到的方程为 \(u - (u + x u') = u(u + x u') + 1\)，化简后为 \(-x u' = u^2 + u x u' + 1\)。这一步推导有误，正确推导应为从 \(y - x y' = x + y y'\) 代入后得到 \(u x - x(u + x u') = x + u x (u + x u')\)，化简后应为 \(-x^2 u' = x + u^2 x + u x^2 u'\)，进一步整理得 \(u' x (u + 1) = - (1 + u^2)\)，即 \(u' x = -\frac{1 + u^2}{u + 1}\)，与学生所得 \(\frac{1}{x} dx = -\frac{1 + u}{1 + u^2} du\) 不一致。学生在此处推导错误，导致后续积分方程错误。
• 积分后学生得到 \(\ln x = \arctan u + \frac{1}{2} \ln(1 + u^2) + C\)，但标准答案为 \(\arctan u + \frac{1}{2} \ln(1 + u^2) = -\ln x + C\)，符号相反，且学生未调整常数形式。
• 学生最终结果 \(\ln x = \arctan \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2})\) 与标准答案形式不同，但通过代数变换可化为相同形式，且利用初始条件得出 \(C = 0\) 正确。

由于在微分方程推导步骤存在逻辑错误，但后续积分和初始条件应用正确，且最终结果等价，扣分主要针对推导错误。根据打分要求，逻辑错误需扣分，但最终结果正确部分可酌情给分。综合评分：8分（扣3分）。

题目总分：8分