评分及理由

（1）得分及理由（满分2分）

学生正确写出系数矩阵，并利用标准型只有两个非零项推出秩为2，从而通过行列式为零求得a=2。思路正确，计算无误。得2分。

（2）得分及理由（满分3分）

学生正确写出特征多项式并计算出特征值λ₁=0，λ₂=-3，λ₃=6。但特征多项式展开有误：标准答案中矩阵A的元素与学生的识别结果有差异（学生识别为A=(2,-1,-4; -1,1,1; -4,1,2)），这可能是识别错误。考虑到题目要求对识别错误宽容，且特征值计算结果与标准答案一致，不扣分。得3分。

（3）得分及理由（满分6分）

学生求特征向量时出现严重错误： - λ₁=0时，特征向量(1,1,0)ᵀ不正确（验证：A×(1,1,0)ᵀ=(1,0,-3)ᵀ≠0） - λ₂=-3时，特征向量(-1,1,-1)ᵀ不正确 - λ₃=6时，特征向量(-1,0,1)ᵀ正确 由于三个特征向量中有两个错误，且这些向量彼此不正交（标准要求正交变换），单位化步骤虽然正确但基于错误向量。扣4分。得2分。

题目总分：2+3+2=7分