评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是-2，而标准答案是2。题目要求当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，这意味着lim_{x→0} f(x)/g(x) = 1。为了满足这个条件，需要展开f(x)和g(x)的泰勒级数，并令它们的低阶项系数匹配。

具体推导过程：

• f(x) = ax + bx² + ln(1+x) = ax + bx² + (x - x²/2 + x³/3 - ...) = (a+1)x + (b - 1/2)x² + o(x²)
• g(x) = e^{x²} - cosx = (1 + x² + o(x²)) - (1 - x²/2 + o(x²)) = (3/2)x² + o(x²)

要使f(x)与g(x)等价，需要：

• a+1 = 0 ⇒ a = -1
• b - 1/2 = 3/2 ⇒ b = 2

因此ab = (-1)×2 = -2。

学生的答案-2是正确的，虽然与标准答案的数值2不同，但这是计算ab的结果，思路和计算过程都是正确的。根据评分要求第3条"思路正确不扣分"，应该给满分。

得分：5分

题目总分：5分