评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确建立了微分方程 \(y' - \frac{1}{x}y = -1\)，并正确使用一阶线性微分方程的通解公式得到 \(y(x) = Cx - x\ln x\)。代入初始条件 \(y(1)=2\) 得到 \(C=2\)，最终结果为 \(y(x) = 2x - x\ln x\)，这与标准答案 \(y(x) = x(2 - \ln x)\) 完全等价。解题过程完整正确，因此得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确写出 \(f(x) = \int_1^x (2t - t\ln t)dt\)，求导得 \(f'(x) = x(2 - \ln x)\)，正确找到驻点 \(x = e^2\)，并通过导数符号判断出该点为最大值点。但在计算定积分 \(f(e^2)\) 时出现错误：最终结果 \(\frac{1}{4}e^4 - \frac{3}{4}\) 与标准答案 \(\frac{1}{4}e^4 - \frac{5}{4}\) 不符。检查计算过程发现，在分部积分计算 \(\int t\ln t dt\) 时，学生虽然公式正确，但代入上下限时可能出现了代数运算错误。由于这是关键的计算错误，扣除2分。因此本题得3分。

题目总分：5+3=8分