评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案与标准答案思路完全一致：使用泰勒展开在0点展开，将f(a)和f(-a)相加，得到f(a)+f(-a)=a²[f''(ξ₁)+f''(ξ₂)]/2，然后利用连续函数的介值定理得到存在ξ使得f''(ξ)等于这个平均值。证明过程完整，逻辑正确。

得分：6分

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案存在严重逻辑错误：

1. 在放缩步骤中，错误地写成|f(a)-f(-a)| ≤ |[f''(ξ₁)+f''(ξ₂)]/2 · [(a-x₀)²-(a+x₀)²]|，这是不成立的。正确的应该是三角不等式：|A-B| ≤ |A|+|B|。
2. 后续推导中错误地得到了|f''(ξ₁)+f''(ξ₂)|/2的估计，而实际上需要的是max{|f''(ξ₁)|,|f''(ξ₂)|}的估计。
3. 最后错误地使用了介值定理，实际上应该直接取η为使得|f''(η)|最大的那个点。

虽然基本思路正确（在极值点泰勒展开，然后相减），但关键放缩步骤错误导致整个证明失效。

得分：2分（给思路分，因为知道在极值点展开并相减）

题目总分：6+2=8分