评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第一步计算常数A的过程基本正确，使用了概率密度函数的归一性，积分变换方法合理。但在最后一步计算中出现错误：标准答案为 \( A = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \)，而学生得到 \( A = \frac{\sqrt{2\pi}}{\pi} \)。注意到 \( \frac{\sqrt{2\pi}}{\pi} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \)，两者在数学上完全相等，只是表达形式不同。因此这属于等价表达，不应扣分。该部分思路完整，计算正确，得满分5分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生在第二部分求最大似然估计时，似然函数构造正确，对数似然函数推导正确，求导过程正确，最终得到的估计量 \( \hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{n} \) 与标准答案完全一致。虽然学生对A的代入使用了 \( \frac{\sqrt{2\pi}}{\pi} \) 这一形式，但在最大似然估计的推导中，常数项在对数似然函数求导时会消失，不影响最终结果。该部分推导完整正确，得满分6分。

题目总分：5+6=11分