评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答思路：首先利用对称性将积分转化为 \(\frac{1}{2}\iint_D (x^2+y^2)dxdy\)，然后采用极坐标变换进行计算。这一思路是合理的，因为区域D确实关于直线 \(y=x\) 对称，且被积函数 \(xy\) 在对称性下可以这样处理。

然而，在极坐标变换后的积分区域设定和计算过程中存在多处错误：

• 区域设定错误：题目给出的曲线方程 \((x^2+y^2)^2 = x^2 - y^2\) 在极坐标下为 \(r^4 = r^2\cos2\theta\)，即 \(r^2 = \cos2\theta\)，所以 \(r\) 的上限应为 \(\sqrt{\cos2\theta}\)，而不是 \(\cos2\theta\) 或 \(-\cos2\theta\)。学生错误地将 \(r\) 的上限设为 \(\cos2\theta\) 和 \(-\cos2\theta\)，这是根本性的逻辑错误。
• 积分区域划分错误：学生将区域D划分为 \(D_1\) 和 \(D_2\)，其中 \(D_2\) 的 \(r\) 上限为 \(-\cos2\theta\)，但 \(r\) 作为极径必须非负，\(-\cos2\theta\) 在 \(\theta \in [\pi/4, \pi/2]\) 上为负值，这是不允许的，属于严重逻辑错误。
• 计算过程错误：由于上述区域设定错误，后续的积分计算 \( \int_0^{\cos2\theta} r^3 dr \) 和 \( \int_0^{-\cos2\theta} r^3 dr \) 以及最终结果 \(\frac{3}{128}\pi\) 都是错误的。

尽管学生的初始对称性思路正确，但后续的极坐标变换和积分计算存在多处关键逻辑错误，导致最终结果错误。根据评分标准，逻辑错误需要扣分。考虑到对称性部分正确，但主要计算步骤错误，给予部分分数。

得分：4分（满分12分）

题目总分：4分