评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( x^{2}+(y + 2)^{2}=\frac{4}{9} \)，而标准答案是 \( x^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \)。

从题目条件可知，当 \( x \to 0 \) 时，\( 2\sin x + x f(x) \) 是比 \( x^3 \) 高阶的无穷小，这意味着 \( f(0) = -2 \)，且 \( f'(0) = 0 \)，\( f''(0) = 1 \)。曲率圆的圆心和半径由函数在点 (0, -2) 处的曲率确定，曲率半径 \( R = \frac{1}{|f''(0)|} = 1 \)，圆心在法线上，坐标为 \( (0, -2 + R) = (0, -1) \) 或 \( (0, -2 - R) = (0, -3) \)，但根据曲率方向应取 \( (0, -1) \)，即 \( (0, -\frac{1}{2}) \) 有误？这里需要仔细核对：

曲率公式 \( k = \frac{|f''(0)|}{(1 + f'(0)^2)^{3/2}} = 1 \)，曲率半径 \( R = \frac{1}{k} = 1 \)，圆心在法线上，法线方向由 \( f'(0) = 0 \) 知为竖直方向，且曲率中心在凹侧，因 \( f''(0) = 1 > 0 \)，曲线在 x=0 处上凹，所以圆心在 (0, -2) 的上方，即 (0, -2 + 1) = (0, -1)。因此曲率圆方程为 \( x^2 + (y + 1)^2 = 1 \)，但标准答案是 \( x^2 + (y + 1/2)^2 = 9/4 \)，这似乎不一致。

重新计算：由无穷小条件得 \( f(0) = -2 \)，\( f'(0) = 0 \)，\( f''(0) = 1 \)。曲率 \( k = \frac{|f''(0)|}{(1 + f'(0)^2)^{3/2}} = 1 \)，曲率半径 \( R = 1/k = 1 \)，圆心在法线上，法线方向垂直（因 \( f'(0) = 0 \)），且因 \( f''(0) > 0 \)，曲线在 x=0 处上凹，所以圆心在 (0, -2) 上方，即 (0, -2 + 1) = (0, -1)。因此曲率...