评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生答案中，第一部分存在以下问题：

• 在计算特征值时，学生得出 \(B\) 的特征值为 \(\lambda_{1,2}=1, \lambda_3=0\)，这与正定矩阵特征值全大于零的条件矛盾，因此逻辑错误。学生选择了 \(a=\frac{1}{2}\)，但此时 \(B\) 不是正定矩阵，与题目条件不符。
• 标准答案中，通过正定性和二重特征值条件，正确得出 \(a=\frac{3}{2}\)，并计算特征值和正交矩阵。学生未能正确应用正定条件，导致整个第一部分错误。
• 尽管学生后续步骤（如特征向量和正交化）在假设 \(a=\frac{1}{2}\) 下正确，但由于初始逻辑错误，这部分不得分。

扣分：逻辑错误导致整个部分无效，得0分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生答案中，第二部分基于错误的 \(a\) 值进行计算：

• 学生使用 \(a=\frac{1}{2}\) 计算 \(A\) 和 \(AB\)，但实际 \(a\) 应为 \(\frac{3}{2}\)，因此所有后续计算均基于错误前提。
• 学生得出规范形为 \(y_1^2 + y_2^2\)，但标准答案为 \(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2\)，这反映了学生未能正确计算二次型的规范形。
• 尽管学生尝试使用正交变换，但由于初始错误，整个第二部分无效。

扣分：逻辑错误导致整个部分无效，得0分。

题目总分：0+0=0分