评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生首先求解X的概率密度函数。从微分方程 \( f'(x) + 2xf(x) = 0 \) 出发，通过积分因子法得到 \( f(x) = Ce^{-x^2} \)，这一步正确。但在计算归一化常数C时，学生写为 \( \int_{0}^{+\infty} C e^{x^2} dx = 1 \)，这显然是笔误（应为 \( e^{-x^2} \)），且后续计算中错误地引用 \( \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{x^2}}{\sqrt{\pi}} dx = 1 \) 并得出 \( C = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \)，而正确值应为 \( C = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \)。由于C计算错误，导致后续联合密度 \( f(x,y) \) 也错误（应为 \( \frac{4}{\pi} e^{-(x^2+y^2)} \)，学生写为 \( \frac{1}{\pi} e^{-(x^2+y^2)} \)）。在求Z的分布函数时，学生使用极坐标积分，但积分区域应为第一象限（因x>0, y>0），学生却错误地积分了 \( \theta \) 从0到 \( 2\pi \)（全平面），这导致积分结果错误（尽管巧合地得到了正确的分布函数形式 \( 1 - e^{-z^2} \)）。由于概率密度推导中存在根本性逻辑错误（常数C错误和积分区域错误），但最终分布函数和密度函数形式正确，给予部分分数。扣分：常数C错误（-2分），积分区域错误（-2分）。得分：6 - 2 - 2 = 2分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生计算 \( E(Z) \) 时，使用分部积分法，但过程有误：\( \int_{0}^{+\infty} 2z^2 e^{-z^2} dz \) 的分部积分结果应为 \( -z e^{-z^2} \big|_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} e^{-z^2} dz \)，但学生错误地写出 \( \sqrt{\pi} \) 作为最终结果（正确值应为 \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \)）。计算 \( E(Z^2) \) 时，学生写为 \( \int_{0}^{+\infty} 2z^3 e^{-z^2} dz \)，并通过分...