评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在以下问题：

• 第一次识别中，初始方程误写为 \(x+f(x)=1+\int_{0}^{x}u^{2}f(u)du\)，但第二次识别正确为 \(xf(x)=1+\int_{0}^{x}u^{2}f(u)du\)，根据禁止扣分规则第3条，以正确识别为准，不扣分。
• 第一次识别中，求导后得到 \(x+f'(x)+f(x)=x^{2}f(x)\)，这是逻辑错误，因为初始方程误写导致求导错误。但第二次识别中求导步骤正确，得到 \(f(x)+xf'(x)=x^{2}f(x)\)，根据禁止扣分规则第3条，以正确识别为准，不扣分。
• 在求解微分方程时，学生最终得到 \(f(x)=\frac{e^{\frac{1}{2}x^{2}}-1}{x}\)，而标准答案为 \(f(x)=\frac{1}{x}e^{\frac{x^{2}}{2}}\)。学生通过极限条件 \(\lim_{x\to 0}f(x)=0\) 确定常数 \(C=1\)，但标准答案通过代入 \(x=1\) 确定常数。学生的极限方法在逻辑上可行，但计算有误：对于 \(f(x)=\frac{Ce^{\frac{1}{2}x^{2}}-1}{x}\)，当 \(x\to 0\) 时，使用洛必达法则得极限为 \(0\) 仅当 \(C=1\)，但学生未验证原方程是否满足。实际上，代入原方程可发现学生解不满足，例如当 \(x=1\) 时，学生解为 \(e^{\frac{1}{2}}-1\)，但标准解为 \(e^{\frac{1}{2}}\)，且原方程在 \(x=1\) 时要求 \(f(1)=1\)，学生解不满足，因此常数确定错误，属于逻辑错误，扣2分。
• 在求最小值时，学生基于错误函数求导，得到 \(f'(x)=(e^{\frac{1}{2}x^{2}}-1)(1-\frac{1}{x^{2}})\)，并判断单调性，但函数错误导致最小值计算错误，扣1分。
• 总体思路正确，但关键步骤常数确定错误，导致后续全错。

得分：10 - 2（常数确定错误） - 1（最小值错误） = 7分

题目总分：7分