评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“1”。

首先，我们需要根据题目描述还原出原矩阵A。题目中的操作是：

1. 交换A的第2行和第3行，得到矩阵B。
2. 将B的第2列的-1倍加到第1列，得到题目给出的矩阵C = \(\begin{pmatrix}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}\)。

设初等矩阵：

• 交换第2、3行的初等矩阵为 \(P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\)，则 \(B = PA\)。
• 将第2列的-1倍加到第1列的初等矩阵为 \(Q = \begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)，则 \(C = BQ = PAQ\)。

因此，\(C = PAQ\)，所以 \(A = P^{-1} C Q^{-1}\)。

由于P是置换矩阵，\(P^{-1} = P^T = P\)。而\(Q^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)。

计算 \(A = P C Q^{-1}\)：

先计算 \(C Q^{-1} = \begin{pmatrix}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -2+1 & -1 \\ 1 & 1-1 & 0 \\ -1 & -1+0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0\end{pmatrix}\)。

再左乘P：\(A = P (C Q^{-1}) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 &...